Classical and Derived Birational Geometry

Nell'ambito della geometria algebrica, lo studio delle trasformazioni birazionali e delle loro proprietà riveste un ruolo di importanza primaria. In questo, si affiancano l'approccio classico della scuola italiana che si concentra sul gruppo di Cremona e quello più moderno che utilizza strumenti come categorie derivate e decomposizioni semiortogonali. Del gruppo di Cremona Cr_n, cioé il gruppo degli automorfismi birazionali di P^n, in generale non si conosce molto e ci si concentra sul caso complesso. Si conosce un insieme di generatori solo nel caso di dimensione 2. Inoltre non é ancora nota una classicazione tramite trasformazioni di Cremona delle curve e dei sistemi lineari di P^2. Tra i casi noti ci sono: le curve irriducibili e quelle formate da due componenti irriducibili. In questa tesi ci si approccia al caso di una configurazione di d rette nel piano proiettivo. Il teorema finale fornisce condizioni necessarie o sufficienti alla contraibilità. Da un punto di vista categoriale invece, le decomposizioni semiortogonali della cat- egoria derivata di una varietà ci forniscono degli invarianti utili nello studio della varietà. Seguendo l'approccio di Clemens-Griffiths riguardante la cubica complessa di dimensione 3, si vuole caratterizzare le ostruzioni alla razionalità di una varietà X di dimensione n. L'idea è di raccogliere le componenti di una decomposizione ortog- onale che non sono equivalenti a categorie derivate di varietà di dimensione almeno n-1 e in questo modo definire quella che chiamiamo componente di Griffiths- Kuznetsov di X. In questa tesi si studia il caso delle superci geometricamante razionali su un campo arbitrario, si definisce tale componente e si mostra che essa è un invariante birazionale. Si vede anche che la componente di Griffiths-Kuznetsov è nulla solo se la supercie è razionale.

In the field of algebraic geometry, the study of birational transforma- tions and their properties plays a primary role. In this, there are two different approaches: the classical one due to the Italian school who focuses on the Cremona group and a modern one which utilizes instruments like derived categories and semiorthogonal decompositions. About the Cremona group, that is the group of birational self-morphisms of P^n, we do not know much in general and we focus on the complex case. We know a set of generators only in dimension n = 2. Moreover, we do not have a classication of curves and linear systems in P^2 up to Cremona transformations. Among the known results there are: irreducible curves and curves with two irreducible components. In this thesis we approach tha case of a conguration of lines in the projective plane. The last theorem lists the known contractible configurations. From a categorical point of view, the semiorthogonal decompositions of the derived category of a variety provide some useful invariants in the study of the variety. Following the work of Clemens-Griffiths about the complex cubic threefold, we want to characterize the obstructions to the rationality of a variety X of dimension n. The idea is to collect the component of a semiorthogonal decomposition which are not equivalent to the derived category of a variety of dimension at least n-1. In this way we defined the so called Griffiths-Kuznetsov component of X. In this thesis we study the case of surfaces on an arbitrary field, we define that component and show that it is a birational invariant. It appears clearly that the Griffiths-Kuznetsov component vanishes only if the surface is rational.