Variable metric first–order methods for applications in biomedical imaging

The aim of this work is to analyse some acceleration techniques for first-order methods for nonlinear constrained optimization and discuss their performances in the contest of biomedical imaging problems. The proposed strategies exploit recent ideas based on suitable choices of the steplenght parameters and on the introduction of a variable metric induced by scaling matrices in the definition of the gradient projection step; such strategies efficiently contribute in speeding up the convergence rate of the methods without adding significant computational costs. Thanks to their light computational burden with a limited storage requirement, first-order methods represent an effective tool for solving large-scale optimization problems. This feature appear promising for the employment of such methods into problems that have to be solved in a short time without strict requirements on the accuracy demand. The experimental framework for the evaluation of the proposed acceleration strategies consists in two problems arising in biomedical domain applications. The first one concerns the fibre orientation distribution recovery in the white matter of the brain from diffusion Magnetic Resonance Imaging data and it exploits recent innovative approaches for sparse minimization problems. The second collection of experiments is conducted on a 3D image reconstruction problem in X-rays Computed Tomography from a limited number of acquisition data, taking advantage of sparsity feature of the seeked solution. Extensive numerical experience in presence of different types of noise and data shows the efficiency of the acceleration processes specifically designed for the gradient projection schemes.

Lo scopo di questo lavoro è l’analisi di alcune tecniche di accelerazione per metodi del primo ordine per l’ottimizzazione vincolata non lineare e discuterne le prestazioni nell’ambito di problemi di imaging biomedicale. Le strategie proposte sfruttano recenti idee basate su opportune scelte dei parametri di steplength e sull'introduzione di una metrica variabile indotta da matrici di scaling nella definizione del passo di proiezione del gradiente; tali strategie contribuiscono in maniera efficace nell'aumento della velocità di convergenza dei metodi senza aggiungere significativi costi computazionali. Grazie alla bassa complessità computazionale, unita a una limitata occupazione di memoria, i metodi del primo ordine rappresentano uno strumento efficace per la risoluzione di problemi di ottimizzazione su larga scala. Tale caratteristica appare promettente per l'impiego di tali metodi in problemi che necessitano una soluzione in tempi rapidi senza forti limitazioni nelle richieste di accuratezza. Il contesto sperimentale per la valutazione delle strategie di accelerazione proposte consiste in due problemi derivanti da applicazioni nell’ambito dell’imaging biomedicale. Il primo problema riguarda la ricostruzione della distribuzione dell'orientazione delle fibre nella materia bianca del cervello a partire da dati di risonanza magnetica in diffusione e sfrutta recenti approcci innovativi per la minimizzazione di problemi sparsi. Il secondo insieme di esperimenti è condotto su un problema di ricostruzione di immagini 3D nell’ambito della tomografia computerizzata a partire da un numero limitato di dati acquisiti, sfruttando le caratteristiche di sparsità della soluzione cercata. Un'estesa sperimentazione numerica in presenza di differenti tipologie di rumori e di dati mostra l'efficienza delle tecniche di accelerazione progettate per gli schemi di gradiente proiettato considerati.