On the Cesàro averages of some counting functions

Il capitolo 2 riguarda i più recenti risultati riguardanti le congetture di Goldbach. Il capitolo 3 tratta gli strumenti preliminari utili per il nostro lavoro. Nel capitolo 4 introdurremo il nostro primo teorema sullo studio della media di Cesàro dei numeri che possono essere scritti come somma di un primo più due quadrati di interi (che chiameremo “numeri di Linnik” per brevità). Faremo ora vedere una piccola introduzione del nostro lavoro; ci aiuterà a capire meglio il ragionamento. Vogliamo studiare la media di una counting function con perso di Cesàro di ordine k, ovvero \sum_{n\leq N}f\left(n\right)\frac{\left(N-n\right)^{k}}{\Gamma\left(k+1\right)}.Nel capitolo 4 considereremo f\left(n\right)=r_{Q}\left(n\right) come la counting function pesata del numero di rappresentazioni di n come somma di un primo e due quadrati di interi. Sia z=a+iy, a>0,\,y\in\mathbb{R}, definiamo \widetilde{S}\left(z\right)=\sum_{m\geq1}\Lambda\left(m\right)e^{-mz}e\omega_{2}\left(z\right)=\sum_{m\geq1}e^{-m^{2}z}.Dimostreremo che \widetilde{S}\left(z\right)\omega_{2}^{2}\left(z\right)=\sum_{n\geq1}r_{Q}\left(n\right)e^{-nz}.La presenza di queste due funzioni è legata al fatto che stiamo lavorando con primi e quadrati di interi. Considereremo \frac{1}{2\pi i}\int_{\left(a\right)}e^{Nz}z^{-k-1}\widetilde{S}\left(z\right)\omega_{2}^{2}\left(z\right)dzdove \int_{\left(a\right)} significa \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} . Usando [eq:intrduction] e l'identità fondamentale\frac{1}{2\pi i}\int_{\left(a\right)}v^{-s}e^{v}dv=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)},\,\textrm{Re}\left(s\right)>0,\,a>0dimostreremo, dopo alcune discussioni riguardanti delle convergenze, che\sum_{n\leq N}r_{Q}\left(n\right)\frac{\left(N-n\right)^{k}}{\Gamma\left(k+1\right)}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left(a\right)}e^{Nz}z^{-k-1}\widetilde{S}\left(z\right)\omega_{2}^{2}\left(z\right)dz. Possiamo osservare che siamo passati da un problema aritmetico ad un problema che può essere affrontato con tecniche analitiche. Vorremo avere k il più piccolo possibile poiché per k=0 il peso di Cesàro è uguale a 1. Dimostreremo che \widetilde{S}\left(z\right) ha una formula asintotica, poi la sostituiremo in [eq:introduction2] e otterremo tre integrali con un termine di errore. In ogni integrale studieremo la convergenza assoluta che dipenderà da k. Dopo di ciò scambieremo serie ed integrali e, usando alcune identità riguardanti la funzione Gamma e le funzioni di Bessel, riusciremo ad ottenre una asintotica per la LHS di [eq:introduction2]. Come abbiamo detto la convergenza dipende da quanto è grande k. Vorremmo ottenere k\geq0 ma sfortunatamente non è possibile usando questa tecnica. Faremo infatti vedere la richiesta k>3/2 è ottimale. Nel capitolo 5 dimostreremo il nostro secondo teorema riguardante la media di Cesàro del numero di rappresentazioni di n come somma di un primo e due quadrati di primi. L'approccio sarà lo stesso della parte precedente. Nella parte 6 descriveremo il metodo del cerchio di Hardy, Littlewood e Ramanujan e vedremo l'applicazione classica al problema ternario di Goldbach. E' il “punto di partenza” della nostra tecnica perché la tecnica precedentemente illustrata non è altro che una variante di tale metodo.

Chapter 2 is about the results related to the Goldbach conjectures. Chapter 3 is of preliminary character and it collects some well-known results used in this work. In Chapter 4 we will introduce our first theorem which is about the Cesàro mean of the numbers that can be written as sum of a prime and two squares of integer (that we call “Linnik numbers” for brevity). We will prove that the technique has a limitation and so we can not expect to get results that look real conjecturally. We now present a short introduction to our work; it will help us to a better comprehension of the proof. We want to study the mean of some counting function with order k Cesàro weight, that is, \sum_{n\leq N}f\left(n\right)\frac{\left(N-n\right)^{k}}{\Gamma\left(k+1\right)}.So in Chapter 4 we will consider f\left(n\right)=r_{Q}\left(n\right) as the weighted counting function of the representation of n as a sum of a prime and two squares of integers.Let z=a+iy, a>0,\,y\in\mathbb{R}, and let us define \widetilde{S}\left(z\right)=\sum_{m\geq1}\Lambda\left(m\right)e^{-mz}and\omega_{2}\left(z\right)=\sum_{m\geq1}e^{-m^{2}z}.We will prove that \widetilde{S}\left(z\right)\omega_{2}^{2}\left(z\right)=\sum_{n\geq1}r_{Q}\left(n\right)e^{-nz}.The presence of this two functions is linked to the fact that we are working with primes ans quares of integers. We will consider the integral \frac{1}{2\pi i}\int_{\left(a\right)}e^{Nz}z^{-k-1}\widetilde{S}\left(z\right)\omega_{2}^{2}\left(z\right)dzwhere \int_{\left(a\right)} means \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} and using [eq:intrduction] and the fundamental identity \frac{1}{2\pi i}\int_{\left(a\right)}v^{-s}e^{v}dv=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)},\,\textrm{Re}\left(s\right)>0,\,a>0we will prove, after a convergence control, that \sum_{n\leq N}r_{Q}\left(n\right)\frac{\left(N-n\right)^{k}}{\Gamma\left(k+1\right)}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left(a\right)}e^{Nz}z^{-k-1}\widetilde{S}\left(z\right)\omega_{2}^{2}\left(z\right)dz. We can see now that we moved from an arithmetic problem to a problem that can be dealt with analytic tools. We would like to have lower bounds for k as small as possible since for k=0 the Cesàro weight is equal to 1. We will prove that \widetilde{S}\left(z\right) has a asymptotic formula, then we will substitute that formula in the RHS of [eq:introduction2] and we will obtain three integrals and an error term. In each integral we will study the absolute convergence that depends on k. After that we will exchange the integrals with the series in the integrand and, using some identities involving the Gamma function and the Bessel functions, we will able to find an asymptotic for the LHS of [eq:introduction2]. As we said, the convergence depends on how large is k. We would like to get k\geq0 but unfortunately using this technique it is not possible. In fact we will also prove that for this problem the bound k>3/2 is optimal. In Chapter 5 we will show our second theorem which is about the Cesàro mean of the numbers that can be written as sum of a prime and two squares of primes. The approach is the same of the earlier part. In Chapter 6 we will describe the circle method of Hardy, Littlewood and Ramanujan and we will see the classical applications to the Goldbach ternary problem. It is the “starting point” of our work, since our main results are based on a variant of this technique.