BV Functions in Metric Measure Spaces: Traces and Integration by Parts Formulæ

This thesis offers a survey on the theory of Sobolev and BV functions in the setting of metric measure spaces. We compare different characterizations of such spaces in order to emphasize their relationships along with the conditions which ensure the equivalence of the definitions. Then, we discuss the differential structure introduced by N. Gigli in a paper of 2014 to give a new definition of BV functions in the RCD(K,\infty) setting, making use of suitable vector fileds. Later, in the metric doubling setting with Poincaré inequality, we give new integration by parts formulæ via "divergence-measure" vector fields to attack the issue of traces of BV functions. We compare the theory of "rough traces" (re-adapted to the present setting, cfr. V. Maz'ya) with the trace operator defined via Lebesgue points, finding the conditions under which the two characterizations coincide.

Questa tesi fornisce una panoramica sulla teoria delle funzioni Sobolev e BV nel contesto degli spazi metrici con misura. Vengono messe a confronto diverse caratterizzazioni di tali spazi al fine di evidenziarne le interconnessioni e le condizioni che garantiscono l'equivalenza delle definizioni. Dunque, si discute la struttura differenziale introdotta da N. Gigli in un articolo del 2014 per dare una nuova definizione di funzioni BV nel setting RCD(K,\infty) attraverso opportuni campi vettoriali. Di seguito, nel contesto metrico doubling con disuguaglianza di Poincaré, si danno nuove formule di integrazione per parti utilizzando campi a "divergenza-misura" per trattare poi il problema delle tracce delle funzioni BV. Si confronta la teoria delle "rough traces" (riadattata al presente setting, cfr. V. Maz'ya) con l'operatore di traccia definito mediante punti di Lebesgue, trovando le condizioni in cui le due caratterizzazioni coincidono.