Estimates for a family of exponential sums with modular coefficients

In questo lavoro otteniamo stime non banali per una famiglia di somme esponenziali pesate con coefficienti di natura modulare. Due successioni di pesi sono considerate: la successione {a_f(n)} dei coefficienti di Fourier normalizzati di un’autofunzione cuspidale f del gruppo modulare e {\mu_f(n)} la successione inversa di {a_f(n)} rispetto alla convoluzione di Dirichlet. Lo strumento principale sviluppato per la nostra dimostrazione è una generalizzazione di un risultato di Bourgain, Sarnak e Ziegler; nella versione originale, il risultato ha numerose applicazioni nello studio delle proprietà di cancellazione legate alla funzione di Moebius \mu(n), a cui solitamente ci si riferisce con Moebius Randomness Law. Osserviamo che la funzione \mu_f(n) è strettamente legata a \mu(n); possiamo sintetizzare dicendo che \mu_f(n) gioca per la L-funzione associata ad f il ruolo che \mu(n) gioca per la funzione zeta di Riemann. Nel primo capitolo si richiamano alcune proprietà generali della funzione di Moebius con particolare enfasi su questioni inerenti alla Moebius Randomness Law e alla congettura di Sarnak. Nel secondo capitolo si richiamano alcuni aspetti interessanti delle forme modulari, si dimostra la generalizzazione del risultato di Bourgain, Sarnak e Ziegler e la sua applicabilità alle due successioni {a_f(n)} and {\mu_f(n)}. Nel terzo capitolo si dimostrano le stime per le somme esponenziali.

In this work we establish non-trivial estimates for a family of exponential sums weighted with modular coefficients. Two sequences of weights are considered: the sequence {a_f(n)} of the normalized Fourier coefficients of a cuspidal eigenform f and the sequence {\mu_f(n)} obtained as the inverse of {a_f(n)} with respect to the Dirichlet convolution. The main tool developed for our proof is a generalisation of a result due to Bourgain, Sarnak and Ziegler which is widely used to study the orthogonality properties of the Moebius function \mu(n). We remark that the function \mu_f(n) is strictly related to \mu(n); we can summarise saying that \mu_f(n) plays for the L-function associated to f the same role that \mu(n) plays for the Riemann zeta-function. In the first chapter we recall some basic properties of the Moebius function focusing on some aspects related to the Moebius Randomness Law and to the Sarnak conjecture. In the second chapter we recall some interesting properties about modular forms, we prove the generalisation of the result of Burgain, Sarnak and Ziegler and that it can be applied while working with the sequences {a_f(n)} and {\mu_f(n)}. In the third chapter we prove the estimates for the exponential sums.