Optimal control and stability in complex systems: epidemiological and landscape models

Questa tesi tratta sistemi complessi in ambito epidemiologico ed ambientale, utilizzando tecniche di controllo ottimo e analisi qualitativa dei sistemi dinamici. Nella prima parte viene studiato un problema di controllo ottimo di tipo time-optimal applicato a modelli epidemiologici SIR, considerando quattro possibili politiche di controllo dell'epidemia: vaccinazione, isolamento, abbattimento e interventi per la riduzione della trasmissione dell'infezione. L'obiettivo dello studio è determinare per ogni politica la strategia di controllo che minimizza il tempo di eradicazione della malattia. Sfruttando la teoria di Pontryagin, si dimostra l'esistenza di una soluzione del problema di controllo ottimo. Inoltre, si dimostra che il controllo ottimo è di tipo bang-bang, ossia la strategia ottimale che minimizza la durata dell'epidemia può essere l'applicazione della politica di controllo all'insorgere dell'infezione, oppure l'intervento ritardato di una certa quantità di tempo. I risultati mostrano che applicare il controllo al massimo delle sue potenzialità per l'intera durata dell'epidemia può allungarne il decorso e che in alcuni casi la strategia che minimizza la durata di un'infezione non corrisponde a quella che minimizza il numero di infetti, e viceversa. Nella seconda parte viene considerato un modello epidemiologico definito su grafo che simula la diffusione di un'epidemia all'interno di una città densamente popolata. I nodi del grafo rappresentano i quartieri della città, mentre gli archi diretti e pesati descrivono la frazione di popolazione di un dato quartiere che giornalmente si sposta verso un altro quartiere per motivi di studio o di lavoro. La dinamica di infezione all'interno di ciascun quartiere è descritta da un modello di tipo Capasso-Serio in modo da includere nel modello la risposta psicologica della popolazione ad un forte aumento del numero degli infetti. Per analizzare la diffusione dell'epidemia viene definito il numero riproduttivo di base: se il suo valore supera la soglia critica 1 allora si avrà diffusione dell'epidemia, in caso contrario si estinguerà monotonicamente. In questa tesi sono stati considerati due particolari tipi di modelli epidemiologici definiti su grafo: il caso di network epidemiologico omogeneo, in cui il numero riproduttivo di base non dipende dalla geometria del network, e un particolare caso di network eterogeneo. In quest'ultimo caso la diffusione dell'epidemia è fortemente influenzata dai flussi di persone tra i quartieri. Nella terza parte della tesi è stato analizzato un sistema complesso definito su un grafo che descrive l'evoluzione di un sistema ambientale, il quale viene suddiviso in porzioni di territorio i cui confini sono delimitati da barriere naturali o antropiche, dette unità territoriali (UT). Ogni nodo del grafo rappresenta un'UT, il cui stato è descritto dalla percentuale di aree verdi di buona qualità e dal valore di bioenergia. L'interazione tra le UT è modellizzata tramite un arco diretto e pesato in cui il peso descrive la facilità di scambio di bioenergia, descritto analiticamente mediante un termine di accoppiamento di tipo elettrico, analogo a quello usato nel campo delle reti neurali. L'obiettivo dello studio è determinare gli equilibri del sistema e la loro stabilità, per valutare la resistenza di un equilibrio del sistema a forti perturbazioni dovute a eventi naturali o all'intervento umano. Vengono individuati e studiati gli equilibri della singola UT al variare di due parametri, mentre per lo studio del sistema complesso, dopo aver dimostrato che esso tende sempre ad un equilibrio, è stato costruito un opportuno modello ridotto su cui è stata condotta un'analisi teorica degli equilibri e della loro stabilità al variare di quattro parametri del sistema. I risultati dell'analisi qualitativa effettuata sono stati testati su un esempio reale, relativo ad un sistema ambientale nella provincia nord di Torino.

This thesis deals with epidemiological and environmental complex systems; their evolution and potentialities are analysed by means of qualitative analysis and optimal control techniques. In the first part of the thesis we analyse a controlled SIR epidemiological model, focusing on four different control policies: prophylactic vaccination, isolation, non-selective culling and reduction of transmission controls. We thoroughly investigate the problem of minimizing the epidemic duration both with theoretical and numerical tools. In particular, for each policy, we prove the existence of an optimal control and we prove that the optimal strategy is to apply the control at the maximum rate until the eradication of the disease, possibly delaying the control action some amount of time. To complete the analytical study, we perform an extensive numerical study, exploring the solution of the time-optimal control problem on a wide range of parameter settings describing different epidemiological conditions, different possible control efforts and different numbers of initially introduced infected individuals in the population. The numerical simulations show that using the maximum control for the entire epidemic duration may not be the optimal strategy (even in unconstrained conditions) and that minimizing the epidemic duration does not always imply minimizing the total infectious burden, and vice versa. The second part deals with a network of dynamical systems devised to simulate the spread of an epidemic in highly populated cities. We model the city structure by identifying the nodes of the graph with the neighbourhoods of the city, and using directed weighted edges to represent the fraction of people moving from one neighbourhood to another due to their daily routine activities. The evolution of the disease inside each neighbourhood is described by the generalized model by Capasso and Serio in order to take into account psychological effects that can arise if a significant part of the neighbourhood is infected. The non-linear incidence term of this model is a generic unspecified function characterized by some meaningful properties. The equations of the model are obtained starting from the Capasso-Serio model and taking into account the influence of the infected individuals that come from other districts. We define the basic reproduction number for our epidemiological network and perform an analytical study for two particular network and parameters configurations, in order to analyse the stability of the disease free equilibrium. We prove that in an homogeneous (with respect to the epidemiological parameters) network the mobility of people is irrelevant, while in a slightly heterogeneous network it could be an essential ingredient in avoiding an epidemic. In the third part of the thesis we study an environmental network devised to simulate an heterogeneous territory distributed in several landscape units, that are regions whose borders are identified by natural or anthropic barriers. The state of each landscape unit is described by the percentage of high quality green areas and by the bio-energy; they depend on several environmental parameters. Each landscape unit is represented by a node of the graph, while the interaction between them is simulated using weighted directed arcs, that mimic the capability of transmission of bio-energy. The interaction between landscape units has the same mathematical structure as the electrical coupling in neural networks. The equilibria of the isolated landscape unit and their stability properties are analysed in terms of two bifurcation parameters. In order to study the equilibria of the environmental network a proper reduced model is considered. Its equilibria and their stability properties are analysed by means of four bifurcation parameters, with the aim of obtaining information about the robustness of the environmental system under strong perturbations due to human land uses impact or to natural events.