Region-of-interest CT problem: effective forward operator and iterative shearlet-based regularization

Region-of-interest Computed Tomography (ROI CT) is an X-ray based incomplete data imaging acquisition mode. Currently, it is among the “hot topics” in the field of X-ray tomographic imaging, due to its potential to lower exposure to X-ray radiation and to reduce the scanning time. This is particularly appealing, especially for the medical imaging community, due to a wide range of applications in biomedical imaging, such as contrast-enhanced cardiac imaging or positioning of intracranial stents. However, this problem is rather challenging because of the truncation of projections, i.e., of the acquired data. CT is in general an ill-posed problem, and the ill-posedness becomes severe due to incompleteness of the ROI CT dataset, even more as the ROI size gets smaller. Therefore, one of the major issues is that traditional or naive local reconstruction algorithms may be very unstable and might produce unreliable reconstructions, when applied directly to incomplete data, setting missing projections to zero. So far, both ad hoc analytic formulae and iterative numerical schemes have been proposed in the literature to address this problem, but typically rely on restrictive assumptions. This thesis addresses the connection of the reconstruction problem and the incompleteness of the ROI CT data. The main goal is to obtain a stable and feasible reconstruction, possibly under reliable noise circumstances, and without any assumptions either on the size or on the location of the ROI. This would be impossible due to non-uniqueness of the interior problem. To this end, we formulate the ROI CT reconstruction problem as a convex optimization problem with different regularization levels. A regularized functional based on shearlets, a new multiscale method whose main features are relevant in CT-like applications, is possibly coupled with a Total Variation regularization term. Both a smooth and a nonsmooth version of this convex problem are investigated. An accurate and flexible forward projection technique, called distance-driven, is considered to study the problem, and an efficient implementation is developed to provide a faster digital reconstruction framework. This original contribution goes beyond the ROI CT problem and applies to more general CT problems. Two iterative approaches are proposed and analyzed to face the numerical solution of the derived convex optimization problem. A scaled gradient projection method for the smooth approach and a variable metric inexact line-search algorithm for the nonsmooth case. Both methods have been proposed very recently, and, to the best of our knowledge, it is the first time that their performance is investigated in CT-like applications. All experimental studies presented make use of simulated data, in the case of 2D fan-beam CT. The numerical tests illustrated in this thesis show that our approach is insensitive to the location of the ROI and remains very stable also when the ROI size is rather small. Thefindingsandconclusionsofthisworkhaveanumberofimportantimplicationsforfutureresearch. Therefore, suggestions for further work will be given for each addressed topic.

La tecnica di Tomografia Computerizzata ristretta a regioni-di-interesse (ROI CT) rientra tra le modalità di acquisizione di immagini tomografiche, mediante raggi X, da dati incompleti. Attualmente, è tra i “temi caldi” nel campo dell’imaging tomografico, poiché offre al contempo la possibiltà di diminuire l’esposizione a radiazioni derivanti dai raggi X e ridurre il tempo di scansione. Per la comunità medica, ROI CT riveste un ruolo di particolare interesse, grazie al gran numero di applicazioni in imaging biomedico, tra cui l’imaging cardiaco con intensificazione di contrasto e il posizionamento di stent intracranici. Tuttavia, si tratta di un problema piuttosto difficile a causa del troncamento delle proiezioni, cioè dei dati acquisiti. CT è in generale un problema mal posto e, a causa dell’incompletezza dei dati, la mal posizione tende a peggiorare, sempre più con il diminuire della dimensione della regione-diinteresse. Perciò, uno dei principali problemi è che gli algoritmi classici o ricostruzioni locali naive possono rivelarsi estremamente instabili, restituendo ricostruzioni inaffidabili, quando applicati ai dati incompleti, ponendo a zero le proiezioni mancanti. A oggi, per affrontare questo problema, sono stati proposti in letteratura sia formule analitiche ad hoc sia schemi numerici iterativi, ma tipicamente si basano su ipotesi restrittive. Questa tesi si propone di investigare la connessione tra il problema di ricostruzione e l’incompletezza dei dati derivanti dal problema ROI CT. L’obiettivo principale è di ottenere una ricostruzione stabile e ammissibile, possibilmente sotto ipotesi realistiche per il rumore e senza nessun tipo di ipotesi sulla dimensione o posizione della ROI. Ciò sarebbe impossibile a causa della non-unicità dell’interior problem. A tal fine, ROI CT viene formulato come problema convesso di ottimizzazione, con diversi livelli di regolarizzazione. Si considera un funzionale di regolarizzazione basato sulle shearlets, un metodo multiscala introdotto di recente le cui caratteristiche sono rilevanti in applicazioni tomografiche, eventualmente combinato con un termine di tipo Variazione Totale. Di questo problema convesso vengono investigate sia una versione differenziabile sia una non differenziabile. Per lo studio del problema, viene considerata una tecnica accurata e flessibile per la proiezione in avanti, chiamata distance-driven, per la quale è stata sviluppata un’implementazione efficiente in grado di fornire un ambiente di ricostruzione più veloce. Si tratta di un contributo originale che va al di là del solo problema ROI CT e si applica in generale a tutti i problemi di tipo CT. Per la soluzione numerica del problema convesso di ottimizzazione vengono proposti e analizzati due approcciiterativi. Perlaformulazionedifferenziabilevieneconsideratoilmetododelgradientescalato proiettato, mentre per la versione non differenziabile si considera l’algoritmo a metrica variabile inesatta con ricerca in linea. Entrambi i metodi sono stati proposti molto recentemente e, per quanto si è a conoscenza, è la prima volta che queste tecniche vengono investigate in applicazioni di tipo CT. Tutti gli studi sperimentali che vengono presentati fanno uso di dati simulati nel caso della geometria 2D a ventaglio. I test numerici che vengono illustrati nella tesi mostrano che l’approccio presentato non è influenzato dalla posizione della ROI e rimane molto stabile anche quando la dimensione della ROI è piuttosto piccola. I risultati e le conclusioni di questo lavoro hanno importanti implicazioni per le ricerche future: per ciascun argomento trattato verranno dati spunti per il lavoro futuro.