I temi centrali esplorati nella mia ricerca comprendono diverse aree all’interno del Calcolo delle Variazioni, con una particolare enfasi sulla scienza dei materiali e sull’analisi delle immagini. Il primo capitolo raccoglie i risultati che costituiscono la base comune per gli altri capitoli, trattando argomenti quali gli spazi di Orlicz–Sobolev, i funzionali supremali, le misure di Young e gli spazi BD. Nel secondo capitolo, dimostriamo risultati di Γ-convergenza nel contesto degli spazi di Orlicz generalizzati. Le dimostrazioni seguono l’approccio generale di alcuni lavori precedenti, ma sviluppano tecniche migliorate sotto ipotesi più deboli. In effetti, possiamo considerare anche funzionali non-doubling nel nostro scenario. Trattiamo sia energie di tipo normativo che di tipo modulare con un metodo sostanzialmente analogo. Il terzo capitolo presenta risultati che possono essere considerati come una continuazione del lavoro precedente. Il nostro obiettivo è indebolire le ipotesi di convessità sulla densità . Più precisamente, assumiamo che la densità soddisfi una condizione più blanda (nota come curl(p>1)-Young quasiconvessità) rispetto alla convessità di livello di (,,⋅). Il quarto capitolo è dedicato alle misure di Young. In esso vengono introdotte le misure di Young a due scale, la loro caratterizzazione e risultati di omogeneizzazione. Il nostro obiettivo consiste nello studio del comportamento asintotico di funzionali non-locali che appaiono nella modellizzazione matematica della peridinamica, del ferromagnetismo, ecc. Seguiamo un approccio analogo in termini di misure di Young appropriate, estendendo inizialmente allo spazio delle misure di Young dotato della topologia stretta. Il quinto capitolo si concentra sugli spazi di Orlicz e sulla rilassazione di funzionali variazionali definiti in tali contesti. Partiamo dallo studio di funzionali integrali a esponente variabile, sia nel contesto della teoria della regolarità che in applicazioni ai fluidi elettroreologici e all’omogeneizzazione. Il principale contributo di questo lavoro è l’introduzione del primo modello che presenta sia anisotropia quasi-convessa sia la combinazione di crescita lineare e super-lineare. Otteniamo una rappresentazione integrale nello spazio delle funzioni a variazione limitata con crescita generalizzata, espressa in termini della funzione di recessione puntuale di tale funzionale. Nell’ultimo capitolo affrontiamo il problema della ricostruzione di immagini. Per contrastare tali problematiche, sono stati introdotti diversi modelli di ordine superiore; uno particolarmente efficace è la Variazione Totale Generalizzata di secondo ordine. Il nostro contributo è duplice. In primo luogo, introduciamo un nuovo contesto funzionale anisotropo di funzioni a deformazione limitata, ossia lo spazio BDφ dei campi di deformazione limitata con crescita di Orlicz generalizzata. In secondo luogo, analizziamo una classe di regolarizzatori TGV φ,2α di tipo Musielak-Orlicz anisotropo. Dopo aver studiato le proprietà fondamentali di TGV,2, identifichiamo una rappresentazione duale e mostriamo come i risultati classici di esistenza e stabilità per la Variazione Totale Generalizzata si estendano al nostro contesto Musielak-Orlicz.
The central themes explored in my research include different areas within the field of Calculus of Variations, with a particular emphasis on materials science and image analysis. First chapter collects the results that are a common base for other chapters, among the topics of Orlicz–Sobolev spaces, Supremal functionals, Young measures, BD spaces. In the second chapter, we prove Γ-convergence results in the framework of generalized Orlicz spaces. The proofs follow the general approach of these papers but developing improved techniques with weaker assumptions. Indeed, we can consider non-doubling functionals as well in our scenario. We cover both norm- and modular-type energies with much the same method. Third chapter presents the results which can be regarded as a continuation of the previous work. We aim to weaken the convexity assumptions on the density f. More precisely, we assume that the density satisfies a milder condition (know as curl(p>1)- Young quasiconvexity, than level convexity of f(x, u, ・). Fourth chapter is dedicated to Young measures. It includes the introduction of two-scale Young measures, their characterization, and homogenization results. Our aim consists of studying the asymptotic behavior of non-local functional that appears in the mathematical modeling of peridynamics, ferromagnetics, etc. Here we follow an analogous approach interms of suitable Young measures, extending first Lp to the space of Young measures equipped with the narrow topology. Fifth chapter focuses on Orlicz spaces and the relaxation of variational functionals defined in such settings. We start from the study of integral functionals defined in variable exponent, both in the context of regularity theory and applications to electrorheological fluids and homogenization. The main contribution of this work is to introduce the first model which features both quasi-convex anisotropy and the combination of linear and super-linear growth. We obtain an integral representation in the space of functions with bounded variation of generalized growth of this functional in terms of the point-wise recession function. In the last chapter we deal with image reconstruction problem. In order to counteract such problems, several higher-order models have been introduced. A particularly successful one is the second-order Total Generalized Variation. Our contribution is twofold. First, we introduce a novel anisotropic functional setting of functions with bounded deformation, namely the space BDφ of bounded deformation fields with generalized Orlicz growth. Second, we analyze a Musielak-Orlicz anisotropic Total Generalized Variation class of regularizers (TGV φ,2α ). After studying the basic properties of TGV φ,2α , we identify a dual representation, and show how classical existence and stability for classical Total Generalized Variation carry over to our Musielak-Orlicz setting.
PERSPECTIVES IN MATERIALS SCIENCE: VARIATIONAL MODELS, ASYMPTOTIC ANALYSIS AND HOMOGENIZATION
BERTAZZONI, GIACOMO
2026
Abstract
I temi centrali esplorati nella mia ricerca comprendono diverse aree all’interno del Calcolo delle Variazioni, con una particolare enfasi sulla scienza dei materiali e sull’analisi delle immagini. Il primo capitolo raccoglie i risultati che costituiscono la base comune per gli altri capitoli, trattando argomenti quali gli spazi di Orlicz–Sobolev, i funzionali supremali, le misure di Young e gli spazi BD. Nel secondo capitolo, dimostriamo risultati di Γ-convergenza nel contesto degli spazi di Orlicz generalizzati. Le dimostrazioni seguono l’approccio generale di alcuni lavori precedenti, ma sviluppano tecniche migliorate sotto ipotesi più deboli. In effetti, possiamo considerare anche funzionali non-doubling nel nostro scenario. Trattiamo sia energie di tipo normativo che di tipo modulare con un metodo sostanzialmente analogo. Il terzo capitolo presenta risultati che possono essere considerati come una continuazione del lavoro precedente. Il nostro obiettivo è indebolire le ipotesi di convessità sulla densità . Più precisamente, assumiamo che la densità soddisfi una condizione più blanda (nota come curl(p>1)-Young quasiconvessità) rispetto alla convessità di livello di (,,⋅). Il quarto capitolo è dedicato alle misure di Young. In esso vengono introdotte le misure di Young a due scale, la loro caratterizzazione e risultati di omogeneizzazione. Il nostro obiettivo consiste nello studio del comportamento asintotico di funzionali non-locali che appaiono nella modellizzazione matematica della peridinamica, del ferromagnetismo, ecc. Seguiamo un approccio analogo in termini di misure di Young appropriate, estendendo inizialmente allo spazio delle misure di Young dotato della topologia stretta. Il quinto capitolo si concentra sugli spazi di Orlicz e sulla rilassazione di funzionali variazionali definiti in tali contesti. Partiamo dallo studio di funzionali integrali a esponente variabile, sia nel contesto della teoria della regolarità che in applicazioni ai fluidi elettroreologici e all’omogeneizzazione. Il principale contributo di questo lavoro è l’introduzione del primo modello che presenta sia anisotropia quasi-convessa sia la combinazione di crescita lineare e super-lineare. Otteniamo una rappresentazione integrale nello spazio delle funzioni a variazione limitata con crescita generalizzata, espressa in termini della funzione di recessione puntuale di tale funzionale. Nell’ultimo capitolo affrontiamo il problema della ricostruzione di immagini. Per contrastare tali problematiche, sono stati introdotti diversi modelli di ordine superiore; uno particolarmente efficace è la Variazione Totale Generalizzata di secondo ordine. Il nostro contributo è duplice. In primo luogo, introduciamo un nuovo contesto funzionale anisotropo di funzioni a deformazione limitata, ossia lo spazio BDφ dei campi di deformazione limitata con crescita di Orlicz generalizzata. In secondo luogo, analizziamo una classe di regolarizzatori TGV φ,2α di tipo Musielak-Orlicz anisotropo. Dopo aver studiato le proprietà fondamentali di TGV,2, identifichiamo una rappresentazione duale e mostriamo come i risultati classici di esistenza e stabilità per la Variazione Totale Generalizzata si estendano al nostro contesto Musielak-Orlicz.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
