Geometric and Topological Aspects of Manifolds with Symmetry

Nella prima parte della tesi, forniremo una generalizzazione della costruzione di una struttura complessa sul prodotto di due sfere di dimensione dispari, dovuta a Calabi ed Eckmann. Più precisamente definiamo una struttura quasi-complessa sul prodotto di due insiemi di livello $N_{1,2}$ di mappe momento, relative ad azioni Hamiltoniane. Determiniamo inoltre condizioni necessarie e sufficienti affinché tale struttura risulti integrabile. Nel caso integrabile, saremo inoltre in grado di trovare esplicitamente delle carte olomorfe per $N_1\times N_2$. Come applicazioni, mostreremo come la costruzione da noi proposta permetta di definire una struttura quasi complessa sul prodotto di due varietà di Stiefel complesse; nel seguito, considereremo il caso della varietà di Calabi-Eckmann infinita, data dal prodotto di una sfera di dimensione dispari e una sfera unitaria di uno spazio di Hilbert complesso infinito-dimensionale. Nella seconda parte della tesi ci focalizziamo sulle proprietà di riduzione di una azione propria, generalizzando i lavori di Skjelbred e Straume e di Grove e Searle nel caso di azioni di gruppi compatti. Più specificatamente, generalizziamo la costruzione del \emph{core} di una $G$-varietà dal caso in cui $G$ è un gruppo di Lie compatto al caso in cui l'azione di $G$ è propria. Inoltre, mostreremo come molte proprietà della $G$-azione determinino e siano determinate dall'azione di un sottogruppo $G'\subseteq G$ sul core. Diremo che tali proprietà ammettono un principio di riduzione. In particolare, dimostreremo che una $G$-azione è polare (rispettivamente iperpolare) se e solo se la $G'$-azione sul core è polare (rispettivamente iperpolare). Nel caso di azioni proprie per simplettomorfismi su varietà simplettiche, proveremo altresì che vale un principio di riduzione per le azioni coisotrope e infinitesimamente quasi omogenee. Nel prosieguo, studieremo ancora le azioni di tipo coisotropo nel caso Hamiltoniano e mostreremo la relazione con la stratificazione simplettica studiata da Bates e Lermann. In questo modo, otterremo svariate caratterizzazioni per le azioni coisotrope. Nella terza parte della tesi studiamo la relazione tra la geometria del quoziente $M/G$ di una $G$-varietà differenziabile $M$ e la razionale ellitticità o iperbolicità di $M$. In questo contesto la varietà $M$ sarà sempre supposta compatta, connessa e semplicemente connessa. Un lavoro di Grove, Wilking e Yeager dimostra che, se la coomogeneità della $G$-azione è pari a due, $M/G$ può essere isometrico a un \emph{bad orbifold}, oppure può essere rivestito da una sfera rotonda, dal piano Euclideo o dal piano iperbolico. In tutti i casi precedenti, a parte l'ultimo, è stato mostrato che $M$ è razionalmente ellittica. Nello stesso articolo di Grove, Wilking e Yeager, è inoltre congetturato che, se $M/G$ supporta una metrica di tipo iperbolico, allora $M$ è razionalmente iperbolica. Il nostro primo risultato è quello di trovare un controesempio per questa congettura, ovverosia una varietà razionalmente ellittica che ammette una $G$-azione tale che $M/G$ sia un poligono iperbolico. Tale controesempio smentisce una analoga congettura dovuta a Grove e Ziller nell'ambito delle azioni polari. Nell'ottica di fornire risultati positivi per queste congetture, cerchiamo inoltre di trovare ipotesi aggiuntive che siano sufficienti per concludere la razionalità iperbolica di $M$. Basandoci in un lavoro classico di Bott e Samelson, dimostriamo che data una $G$-azione su $M$ che sia \emph{variazionalmente completa} e tale che $M/G$ supporti una metrica di tipo iperbolico, se le isotropie singolari sono Abeliane o una isotropia principale è connessa, allora $M$ è razionalmente iperbolica. Nell'ultima parte della tesi, studiamo una generalizzazione della decomposizione di Calabi-Matsushima nel caso di gruppi riduttivi reali, generalizzando il caso noto dei gruppi riduttivi complessi.

In the first part of the thesis, we generalize the construction of a complex structure on a product of two odd-dimensional spheres from a classical paper by Calabi and Eckmann. More precisely, we construct an almost complex structure on the product of two manifolds $N_{1,2}$ which are regular level sets of momentum maps of two Hamiltonian actions. Moreover, we provide necessary and sufficient conditions for the integrability of such a structure. In the integrable case, we find explicit holomorphic charts for $N_1\times N_2$. As applications, we construct a non integrable almost-complex structure on the product of two complex Stiefel manifolds and we will consider the infinite Calabi-Eckmann manifolds given by the product of an odd-dimensional sphere and the unit sphere of a complex, infinite dimensional Hilbert space. The second part of the thesis work is focused on the reduction properties of a proper action, generalizing the work of Skjelbred and Straume and of Grove and Searle in the case of an action by a compact group. More specifically, we generalize the construction of the \emph{core} of a $G$-manifold $M$ from the case where $G$ is compact to the case in which the $G$-action is proper. Furthermore, we show that many properties of a proper $G$-action on $M$ are determined by the action of a group $G'$ on the corresponding core, and vice versa. We say that such properties admit a \emph{reduction principle}. In particular, we prove that a proper isometric $G$-action on $M$ is polar (resp. hyperpolar) if and only if the $G'$-action on the core is polar (resp. hyperpolar). In the case of a proper action by syplectomorphisms on a symplectic manifold, we show that a reduction principle holds for coisotropic and infinitesimally almost homogeneous actions. We further study the coisotropic condition for the case of a proper Hamiltonian action and its relation with the symplectic stratification. In particular, we obtain several characterizations for coisotropic actions. In the third part of the thesis we study the relation between the geometry of the quotient $M/G$ and the \emph{rational homotopy ellipticity or hyperbolicity} of $M$. In this part, $G$ is assumed to be compact and $M$ is assumed to be $1$-connected. In a paper by Grove, Wilking, and Yeager, the authors prove that in the case of a cohomogeneity-2 $G$-action, $M/G$ can be either a \emph{bad orbifold}, tiles the round sphere, the Euclidean plane or the hyperbolic plane. In all but the last case the manifold $M$ is proved to be \emph{rationally elliptic}. In the same paper it is conjectured that in the last case, i.e. when $M/G$ supports a metric of hyperbolic type, the manifold $M$ is \emph{rationally hyperbolic}. Our first result is a counterexample to this conjecture, that is, we find a rationally elliptic $G$-manifold such that $M/G$ is a hyperbolic polygon. This counterexample also disproves an analogous conjecture by Grove and Ziller, in the context of polar actions. Subsequently, we look for additional sufficient conditions to prove rational hyperbolicity. Following a classical construction by Bott and Samelson, we prove that if the $G$-action on $M$ is variationally complete and $M/G$ supports a metric of hyperbolic type, then $M$ is rationally hyperbolic if and only if either the isotropy subgroups are Abelian, or a principal isotropy is connected. In the last part, we study a generalization of the \emph{Calabi-Matsushima decomposition} for \emph{real reductive groups}, generalizing the case of complex reductive groups.