The Geometry Awakens: on the relationship between holonomy and hyperbolic structures.

Questa tesi esamina la relazione tra strutture iperboliche ramificate su superfici e rappresentazioni del gruppo fondamentale in $ \ pslr $. Una struttura iperbolica ramificata su una superficie $ S $ è una struttura iperbolica conica tale che l'angolo attorno a qualsiasi punto conico è un multiplo intero di $ 2 \ pi $. \\ Qualsiasi struttura di questo tipo determina una rappresentazione del gruppo fondamentale $ \ rho: \ pi_1S \ longrightarrow \ pslr $ detta olonomia. Ci chiediamo, al contrario, quando una rappresentazione del gruppo fondamentale sorge come olonomia di una struttura iperbolica ramificata. In questo lavoro considereremo solo strutture iperboliche $ 2- $ dimensionali. \\ Sia $ S $ una superficie chiusa di genere $ 2 $, e sia $ \ rho: \ pi_1 S \ longrightarrow \ pslr $ una rappresentazione con classe di Eulero $ \ mathcal {E} (\ rho) = \ pm 1 $. Allora $\rho$ è olonomia di una struttura iperbolica ramificata $ \ sigma $ su $ S $ con un punto conico $4\pi$. Le stesse tecniche usate nel caso del genere $ 2 $ possono essere adoperate anche in genere più alto. In questo modo possiamo provare che qualsiasi rappresentazione $ \ rho: \ pi_1 S \ longrightarrow \ pslr $ con la classe Euler $ \ mathcal {E} (\ rho) = \ pm \ big (\ chi (S) + 1 \ big) $ che applica una curva semplice non separante ad un elemento non iperbolico, è l'olonomia di una struttura iperbolica ramificata $ \ sigma $ su $ S $ con un punto cono di angolo $ 4 \ pi $.

This thesis examines the relationship between branched hyperbolic structures on surfaces and representations of the fundamental group into $\pslr$. A branched hyperbolic structure on a surface $S$ is a hyperbolic cone-structure such that the angle around any interior cone point is an integer multiple of $2\pi$.\\ Any such structure determines a holonomy representation of the fundamental group $\rho:\pi_1S\longrightarrow \pslr$. We ask, conversely, when a representation of the fundamental group arises as holonomy of a branched hyperbolic structure. We consider only $2-$dimensional hyperbolic structures.\\ In this work, we take into account Mathews's theorems and we improve them. Let $S$ be a closed surface of genus $2$, then we show that any representation $\rho:\pi_1 S\longrightarrow \pslr$ with Euler class $\mathcal{E}(\rho)=\pm 1$ is the holonomy of a branched hyperbolic structure $\sigma$ on $S$. In order to show this, we prove that any such representation sends a simple non-separating curve to an elliptic element. Also, we need to consider separately a special class of representations, namely representations with virtually abelian pairs. This class of representations turns out to problematic, and we need to deal with them in a different way. The same ideas we used in the genus $2$ case can be used in all genus. Using them we may prove that any representation $\rho:\pi_1 S\longrightarrow \pslr$ with Euler class $\mathcal{E}(\rho)=\pm\big(\chi(S)+ 1\big)$ which sends a non-separating simple curve to a non-hyperbolic element, is the holonomy of a branched hyperbolic structure $\sigma$ on $S$ with one cone point of angle $4\pi$.