A partire dalla ben nota connessione tra la trasformata di Wigner e gli operatori di Weyl, recentemente si sono sviluppati e approfonditi molti legami tra la teoria delle equazioni alle derivate parziali (e più in generale degli operatori pseudo-differenziali) e gli strumenti dell'analisi tempo-frequenza, come la trasformata di Gabor e la classe di Cohen, convoluzione di un “nucleo” σ con la trasformata di Wigner. In collaborazione con A. Oliaro (Università di Torino) e D. Jornet (Universitat Politècnica de València, Spagna), abbiamo utilizzato la trasformata di Wigner per studiare la regolarità di operatori differenziali lineari: la nozione di globale ipoellitticità introdotta da Shubin è sufficiente per la regolarità nella classe di Schwartz S (o nelle classi di Schwartz con peso ω), ma non necessaria. Dimostrare la regolarità per operatori non globalmente ipoellittici non è banale. Noi abbiamo utilizzato la trasformata di Wigner e le classi di Cohen per trovare classi di operatori regolari non globalmente ipoellittici, classi molto ampie grazie alla vasta possibilità di scelta del nucleo σ in S'. Stiamo studiando la propagazione di singolarità attraverso tecniche di analisi tempo-frequenza, come la short-time Fourier transform ed i Gabor frames, introducendo una discretizzazione del fronte d'onda globale, il fronte d'onda di Gabor, che permetta di analizzare globalmente e simultaneamente i punti e le direzioni di singolarità di una distribuzione. Tramite questo nuovo fronte d'onda ci aspettiamo di conseguire applicazioni agli operatori pseudo-differenziali, differenziali a coefficienti polinomiali e di localizzazione. Abbiamo in progetto di ottenere teoremi di tipo Paley-Wiener reali con applicazioni nell'ambito dell'analisi tempo-frequenza. Nel teorema di Paley-Wiener classico si caratterizza l'immagine, tramite la trasformata di Fourier, di una funzione o distribuzione g a supporto compatto, ottenendo uno spazio di funzioni intere la cui crescita su C^d è legata all'inviluppo convesso del supporto di g. Nei teoremi di Paley-Wiener reali la crescita su R^d di una funzione C^\infty è legata al supporto della trasformata di Fourier ĝ di g, senza necessariamente richiedere la compattezza (nè tanto meno la convessità) di tale supporto. Il raggio R del supporto di ĝ si può ottenere come limite, per n→∞, della radice n-esima della norma L^p delle derivate n-esime di g. Noi abbiamo in progetto di estendere questi risultati, ottenendo R come limite di radici n-esime di opportune norme L^{p,q} pesate della trasformata di Wigner di g, non solo in S, ma anche nelle classi di Schwartz con peso ω. L'idea è poi quella di applicare i risultati ottenuti nell'ambito della teoria spettrale. Con questo progetto vogliamo portare a termine le su descritte ricerche, organizzando anche un convegno internazionale, in collaborazione con le università di Torino e Valencia, dove poter invitare eminenti studiosi stranieri esperti nell'ambito dell'analisi tempo-frequenza.
FIR 2018: Tecniche di analisi tempo-frequenza per lo studio della regolarità
Chiara Boiti
2018
Abstract
A partire dalla ben nota connessione tra la trasformata di Wigner e gli operatori di Weyl, recentemente si sono sviluppati e approfonditi molti legami tra la teoria delle equazioni alle derivate parziali (e più in generale degli operatori pseudo-differenziali) e gli strumenti dell'analisi tempo-frequenza, come la trasformata di Gabor e la classe di Cohen, convoluzione di un “nucleo” σ con la trasformata di Wigner. In collaborazione con A. Oliaro (Università di Torino) e D. Jornet (Universitat Politècnica de València, Spagna), abbiamo utilizzato la trasformata di Wigner per studiare la regolarità di operatori differenziali lineari: la nozione di globale ipoellitticità introdotta da Shubin è sufficiente per la regolarità nella classe di Schwartz S (o nelle classi di Schwartz con peso ω), ma non necessaria. Dimostrare la regolarità per operatori non globalmente ipoellittici non è banale. Noi abbiamo utilizzato la trasformata di Wigner e le classi di Cohen per trovare classi di operatori regolari non globalmente ipoellittici, classi molto ampie grazie alla vasta possibilità di scelta del nucleo σ in S'. Stiamo studiando la propagazione di singolarità attraverso tecniche di analisi tempo-frequenza, come la short-time Fourier transform ed i Gabor frames, introducendo una discretizzazione del fronte d'onda globale, il fronte d'onda di Gabor, che permetta di analizzare globalmente e simultaneamente i punti e le direzioni di singolarità di una distribuzione. Tramite questo nuovo fronte d'onda ci aspettiamo di conseguire applicazioni agli operatori pseudo-differenziali, differenziali a coefficienti polinomiali e di localizzazione. Abbiamo in progetto di ottenere teoremi di tipo Paley-Wiener reali con applicazioni nell'ambito dell'analisi tempo-frequenza. Nel teorema di Paley-Wiener classico si caratterizza l'immagine, tramite la trasformata di Fourier, di una funzione o distribuzione g a supporto compatto, ottenendo uno spazio di funzioni intere la cui crescita su C^d è legata all'inviluppo convesso del supporto di g. Nei teoremi di Paley-Wiener reali la crescita su R^d di una funzione C^\infty è legata al supporto della trasformata di Fourier ĝ di g, senza necessariamente richiedere la compattezza (nè tanto meno la convessità) di tale supporto. Il raggio R del supporto di ĝ si può ottenere come limite, per n→∞, della radice n-esima della norma L^p delle derivate n-esime di g. Noi abbiamo in progetto di estendere questi risultati, ottenendo R come limite di radici n-esime di opportune norme L^{p,q} pesate della trasformata di Wigner di g, non solo in S, ma anche nelle classi di Schwartz con peso ω. L'idea è poi quella di applicare i risultati ottenuti nell'ambito della teoria spettrale. Con questo progetto vogliamo portare a termine le su descritte ricerche, organizzando anche un convegno internazionale, in collaborazione con le università di Torino e Valencia, dove poter invitare eminenti studiosi stranieri esperti nell'ambito dell'analisi tempo-frequenza.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
