Questo progetto si focalizza sull’analisi microlocale e sull’analisi tempo-frequenza, entrambe aree fiorenti della matematica con un sapore interdisciplinare, che trovano una vasta gamma di applicazioni in equazioni alle derivate parziali (PDEs), quantizzazione, elaborazione del segnale, sismologia, ed altri rami della fisica e dell'ingegneria, e che stanno ricevendo notevole attenzione da parte della comunità scientifica. Da un lato, infatti, si sono sviluppati e approfonditi molti legami tra la teoria delle PDEs (e più in generale degli operatori pseudodifferenziali) e gli strumenti dell'analisi tempo-frequenza, come la trasformata di Gabor e la classe di Cohen. Partendo dal ben noto legame tra la trasformata di Wigner e gli operatori di Weyl, si sono sviluppate negli ultimi anni molte interconnessioni tra le PDEs e l'analisi tempo-frequenza. Ci si propone in questo progetto di affrontare lo studio di alcune problematiche legate alle PDEs in questa nuova prospettiva. Alcune ricerche sono già state avviate in tal senso; in particolare in [6] si studia la regolarità globale (nel senso di Shubin) per PDEs con coefficienti polinomiali utilizzando trasformazioni nella classe di Cohen, e si trovano ampie classi di equazioni non globalmente ipoellittiche nel senso di Shubin, ma globalmente regolari. Si intende approfondire lo studio di proprietà di regolarità delle equazioni alle derivate parziali, anche in spazi di funzioni ultradifferenziabili, attraverso trasformazioni tempo-frequenza quadratiche. Inoltre, si intende rivolgere lo studio all'analisi microlocale, approfondendo le connessioni tra la trasformata di Gabor e il fronte d'onda globale di Hörmander, anche nell'ambito delle funzioni ultradifferenziabili. In particolare si intende dare, attraverso trasformate di tipo Gabor, una definizione equivalente di fronte d'onda globale in ambito ultradifferenziabile, che permetta di studiare in modo agevole problematiche legate alla propagazione delle singolarità. Dall’altro lato gli strumenti dell'analisi microlocale costituiscono una nuova prospettiva per lo studio di equazioni differenziali stocastiche (SPDEs), come dimostrato molto recentemente in [5], dove per la prima volta l’analisi microlocale è stata applicata allo studio di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni alle derivate parziali di tipo stocastico. In questo progetto, mediante la teoria degli operatori integrali di Fourier, vogliamo studiare varie classi di SPDEs di tipo iperbolico con coefficienti in (t,x), dando condizioni sufficienti per l’esistenza ed unicità di una “random field solution” (una soluzione definita puntualmente, che sia ad ogni tempo fissato un campo di variabili aleatorie) per equazioni con coefficienti che ammettono crescita polinomiale rispetto ad x; infatti, come recentemente dimostrato in [4], mediante operatori integrali di Fourier è possibile costruire la soluzione fondamentale dell'equazione, e quindi seguendo le idee di [5] fornire condizioni sufficienti (sui coefficienti, sui dati, sul rumore casuale) affinché esista un'unica random field solution. Infine, intendiamo applicare tecniche di analisi microlocale allo studio del problema di Cauchy per PDEs di evoluzione anisotropa con caratteristiche reali. In [1, 2] abbiamo ottenuto condizioni necessarie e sufficienti per la buona positura in Spazi di Sobolev, nel caso di coefficienti in (t,x) limitati in x; in [3] è stato studiato lo stesso problema nelle classi di Schwartz e delle distribuzioni temperate. Si intende ora studiare la buona positura in classi di Gelfand-Shilov del problema di Cauchy associato ad equazioni di tipo Schrödinger con coefficienti in (t,x). Questo sarà il modello per lo studio di equazioni di evoluzione anisotrope più generali nelle classi di Gelfand-Shilov. [1] A.Ascanelli, C.Boiti, Semilinear p-evolution equations in Sobolev spaces, J. Differential Equations (2016), http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2016.01.035 [2] A.Ascanelli, C.Boiti, L.Zanghirati, A necessary condition for well-posedness of linear p-evolution equations, arXiv:1406.6183; sottomesso per la pubblicazione. [3] A.Ascanelli, M.Cappiello, Weighted energy estimates for p-evolution equations in SG classes, Journal of Evolution Equations 15, n.3 (2015), 583-607 [4] A.Ascanelli, S. Coriasco, Fourier integral operators algebra and fundamental solutions to hyperbolic systems with polynomially bounded coefficients on R^n, J. Pseudo-Differ. Oper. Appl. 6 (2015), no. 4, 521–565. [5] A.Ascanelli, A.Suess, Random-field Solutions to Linear Hyperbolic Stochastic Partial Differential Equations with Variable Coefficients, arXiv:1401.5783, submitted for publication [6] C.Boiti, D.Jornet, A.Oliaro, Regularity of partial differential operators in ultradifferentiable spaces and Wigner type transforms, in preparazione.
Nuove prospettive nell'analisi microlocale e tempo-frequenza
BOITI, Chiara
2016
Abstract
Questo progetto si focalizza sull’analisi microlocale e sull’analisi tempo-frequenza, entrambe aree fiorenti della matematica con un sapore interdisciplinare, che trovano una vasta gamma di applicazioni in equazioni alle derivate parziali (PDEs), quantizzazione, elaborazione del segnale, sismologia, ed altri rami della fisica e dell'ingegneria, e che stanno ricevendo notevole attenzione da parte della comunità scientifica. Da un lato, infatti, si sono sviluppati e approfonditi molti legami tra la teoria delle PDEs (e più in generale degli operatori pseudodifferenziali) e gli strumenti dell'analisi tempo-frequenza, come la trasformata di Gabor e la classe di Cohen. Partendo dal ben noto legame tra la trasformata di Wigner e gli operatori di Weyl, si sono sviluppate negli ultimi anni molte interconnessioni tra le PDEs e l'analisi tempo-frequenza. Ci si propone in questo progetto di affrontare lo studio di alcune problematiche legate alle PDEs in questa nuova prospettiva. Alcune ricerche sono già state avviate in tal senso; in particolare in [6] si studia la regolarità globale (nel senso di Shubin) per PDEs con coefficienti polinomiali utilizzando trasformazioni nella classe di Cohen, e si trovano ampie classi di equazioni non globalmente ipoellittiche nel senso di Shubin, ma globalmente regolari. Si intende approfondire lo studio di proprietà di regolarità delle equazioni alle derivate parziali, anche in spazi di funzioni ultradifferenziabili, attraverso trasformazioni tempo-frequenza quadratiche. Inoltre, si intende rivolgere lo studio all'analisi microlocale, approfondendo le connessioni tra la trasformata di Gabor e il fronte d'onda globale di Hörmander, anche nell'ambito delle funzioni ultradifferenziabili. In particolare si intende dare, attraverso trasformate di tipo Gabor, una definizione equivalente di fronte d'onda globale in ambito ultradifferenziabile, che permetta di studiare in modo agevole problematiche legate alla propagazione delle singolarità. Dall’altro lato gli strumenti dell'analisi microlocale costituiscono una nuova prospettiva per lo studio di equazioni differenziali stocastiche (SPDEs), come dimostrato molto recentemente in [5], dove per la prima volta l’analisi microlocale è stata applicata allo studio di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni alle derivate parziali di tipo stocastico. In questo progetto, mediante la teoria degli operatori integrali di Fourier, vogliamo studiare varie classi di SPDEs di tipo iperbolico con coefficienti in (t,x), dando condizioni sufficienti per l’esistenza ed unicità di una “random field solution” (una soluzione definita puntualmente, che sia ad ogni tempo fissato un campo di variabili aleatorie) per equazioni con coefficienti che ammettono crescita polinomiale rispetto ad x; infatti, come recentemente dimostrato in [4], mediante operatori integrali di Fourier è possibile costruire la soluzione fondamentale dell'equazione, e quindi seguendo le idee di [5] fornire condizioni sufficienti (sui coefficienti, sui dati, sul rumore casuale) affinché esista un'unica random field solution. Infine, intendiamo applicare tecniche di analisi microlocale allo studio del problema di Cauchy per PDEs di evoluzione anisotropa con caratteristiche reali. In [1, 2] abbiamo ottenuto condizioni necessarie e sufficienti per la buona positura in Spazi di Sobolev, nel caso di coefficienti in (t,x) limitati in x; in [3] è stato studiato lo stesso problema nelle classi di Schwartz e delle distribuzioni temperate. Si intende ora studiare la buona positura in classi di Gelfand-Shilov del problema di Cauchy associato ad equazioni di tipo Schrödinger con coefficienti in (t,x). Questo sarà il modello per lo studio di equazioni di evoluzione anisotrope più generali nelle classi di Gelfand-Shilov. [1] A.Ascanelli, C.Boiti, Semilinear p-evolution equations in Sobolev spaces, J. Differential Equations (2016), http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2016.01.035 [2] A.Ascanelli, C.Boiti, L.Zanghirati, A necessary condition for well-posedness of linear p-evolution equations, arXiv:1406.6183; sottomesso per la pubblicazione. [3] A.Ascanelli, M.Cappiello, Weighted energy estimates for p-evolution equations in SG classes, Journal of Evolution Equations 15, n.3 (2015), 583-607 [4] A.Ascanelli, S. Coriasco, Fourier integral operators algebra and fundamental solutions to hyperbolic systems with polynomially bounded coefficients on R^n, J. Pseudo-Differ. Oper. Appl. 6 (2015), no. 4, 521–565. [5] A.Ascanelli, A.Suess, Random-field Solutions to Linear Hyperbolic Stochastic Partial Differential Equations with Variable Coefficients, arXiv:1401.5783, submitted for publication [6] C.Boiti, D.Jornet, A.Oliaro, Regularity of partial differential operators in ultradifferentiable spaces and Wigner type transforms, in preparazione.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
