La ricerca concerne alcuni temi dell'algebra e verte, in particolare, sui seguenti. A) Small Bialgebre con proiezione: una nuova indagine. B) Un approccio categorico ai torsori non-commutativi. C) Categorie quozienti di categorie di comoduli. D) Teoremi di tipo Schneider per Hopf algebroidi. A) Small Bialgebre con proiezione: una nuova indagine. Sia (A, H) una bialgebra avente una proiezione debole bilatera e sia R la pre-bialgebra associata in YD. Scopo principale di questa ricerca è quello di considerare il caso in cui R sia connessa e lo spazio degli elementi primitivi sia di dimensione almeno 2. In particolare ci proponiamo di studiare i seguenti problemi. 1- Esiste una proiezione normalizzata? 2- Quand'è che R è una K-algebra associativa (non necessariamente in YD)? 3- Come costruire una nuova pre-bialgebra a partire da due pre-bialgebre in YD? B) Un approccio categorico ai torsori non-commutativi. Una motivazione importante alla base dello studio dei pre-torsori è che questi ultimi costituiscono un ponte naturale fra due aspetti della geometria non-commmutativa. Da un lato possono essere riguardati come fibrati principali in geometria non-commutativa differenziale (i torsori, poi, sono dotati di connessioni di bimoduli), dall'altro essi rappresentano i morfismi fra spazi nella geometria algebrica non-commutativa. Ci si propone di sviluppare una teoria dei pre-torsori di monadi in modo tale da darne una trattazione completamente categorica. Una versione funtoriale della teoria dei pre-torsori si presta ad essere un terreno comune per questi due approcci di geometria non-commutativa. C) Categorie quozienti di categorie di comoduli. In questa ricerca ci proponiamo di stabilire se una categoria quoziente di una categoria di comoduli sopra ad una coalgebra in una categoria monidale abeliana possa essere rappresentata essa stessa come una categoria di comoduli. Questo risultato non solo è in grado di fornire un approccio funtoriale al risultato principale di [C. Nastasescu and B. Torrecillas, Torsion theories for coalgebras, J. Pure Appl. Algebra 97 (1994), 203-220.], ma sarà anche fonte di molte applicazioni in altre situazioni significative. D) Teoremi di tipo Schneider per Hopf algebroidi. Scopo di questa ricerca è quello di proseguire lo studio ed approfondire la comprensione delle estensioni di Galois tramite Hopf algebroidi. Più precisamente, ci si occuperà di modulo coanelli relativamente proiettivi su di un Hopf algebroide. Si useranno metodi funtoriali per dedurre la proprietà Galois dall'iniettività di un'applicazione canonica e per dimostrare un teorema di tipo discesa. Ci si aspetta che questi risultati trovino applicazioni, oltre che in algebra, anche in geometria non-commutativa ed in teoria algebrica dei campi quantici.
“Algebra di Hopf, Funtori e Categorie Monoidali” Unità locale del Progetto di Ricerca di interesse nazionale PRIN 2007 (ex 40%) “Anelli, algebre, moduli e categorie” coordinato da A. Facchini (2008-2009).
MENINI, Claudia
2008
Abstract
La ricerca concerne alcuni temi dell'algebra e verte, in particolare, sui seguenti. A) Small Bialgebre con proiezione: una nuova indagine. B) Un approccio categorico ai torsori non-commutativi. C) Categorie quozienti di categorie di comoduli. D) Teoremi di tipo Schneider per Hopf algebroidi. A) Small Bialgebre con proiezione: una nuova indagine. Sia (A, H) una bialgebra avente una proiezione debole bilatera e sia R la pre-bialgebra associata in YD. Scopo principale di questa ricerca è quello di considerare il caso in cui R sia connessa e lo spazio degli elementi primitivi sia di dimensione almeno 2. In particolare ci proponiamo di studiare i seguenti problemi. 1- Esiste una proiezione normalizzata? 2- Quand'è che R è una K-algebra associativa (non necessariamente in YD)? 3- Come costruire una nuova pre-bialgebra a partire da due pre-bialgebre in YD? B) Un approccio categorico ai torsori non-commutativi. Una motivazione importante alla base dello studio dei pre-torsori è che questi ultimi costituiscono un ponte naturale fra due aspetti della geometria non-commmutativa. Da un lato possono essere riguardati come fibrati principali in geometria non-commutativa differenziale (i torsori, poi, sono dotati di connessioni di bimoduli), dall'altro essi rappresentano i morfismi fra spazi nella geometria algebrica non-commutativa. Ci si propone di sviluppare una teoria dei pre-torsori di monadi in modo tale da darne una trattazione completamente categorica. Una versione funtoriale della teoria dei pre-torsori si presta ad essere un terreno comune per questi due approcci di geometria non-commutativa. C) Categorie quozienti di categorie di comoduli. In questa ricerca ci proponiamo di stabilire se una categoria quoziente di una categoria di comoduli sopra ad una coalgebra in una categoria monidale abeliana possa essere rappresentata essa stessa come una categoria di comoduli. Questo risultato non solo è in grado di fornire un approccio funtoriale al risultato principale di [C. Nastasescu and B. Torrecillas, Torsion theories for coalgebras, J. Pure Appl. Algebra 97 (1994), 203-220.], ma sarà anche fonte di molte applicazioni in altre situazioni significative. D) Teoremi di tipo Schneider per Hopf algebroidi. Scopo di questa ricerca è quello di proseguire lo studio ed approfondire la comprensione delle estensioni di Galois tramite Hopf algebroidi. Più precisamente, ci si occuperà di modulo coanelli relativamente proiettivi su di un Hopf algebroide. Si useranno metodi funtoriali per dedurre la proprietà Galois dall'iniettività di un'applicazione canonica e per dimostrare un teorema di tipo discesa. Ci si aspetta che questi risultati trovino applicazioni, oltre che in algebra, anche in geometria non-commutativa ed in teoria algebrica dei campi quantici.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
