Si introducono le misure H(n−1,σ) (0<σ<1), ottenute mediante una costruzione di Caratheodory a partire dalla famiglia dei cilindri aperti per i quali il rapporto tra altezza e diametro di base non supera σ e se ne studiano le relazioni con la misura di Hausdorff (n−1)-dimensionale sulle frontiere di insiemi di perimetro finito. (We study a new measure, H(n−1,σ) (0<σ<1), obtained with a Caratheodory’s construction on the family of all open cylinders for which the ratio between height and base diameter is not greater than σ). E' noto che per le ipersuperfici regolari coincidono le misure (n-1)-dimensionali secondo Hausdorff, Gross, Caratheodory, ecc. Più in generale, queste misure coincidono sugli insiemi che sono decomponibili (a meno di insiemi di misura nulla) in un numero finito od una infinità numerabile di ipersuperfici regolari. In quest'ultima classe rientra la frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito. In questo lavoro mi occupo di una nuova misura, che viene indicata con H(n-1,σ), ottenuta mediante una costruzione di Caratheodory a partire dalla famiglia dei cilindri aperti per i quali il rapporto tra altezza e diametro di base non supera σ (σ< 1). Queste misure sembrano ragionevolmente adatte a misurare le ipersuperfici regolari od anche tutti gli insiemi che hanno in ogni punto versore normale generalizzato nel senso di De Giorgi (1955). Si dimostra infatti che se E è un insieme limitato di R" (n≥2) di perimetro finito, il perimetro di E coincide per ogni σ < 1 con la misura H(n-1,σ) della frontiera ridotta ∂*E di E. Ne segue che H(n-1,σ) coincide su ∂*E, e, in particolare, sulle ipersuperfici regolari, con le altre misure (n- 1)-dimensionali.
Misure H(n-1,σ) e insiemi di perimetro finito
BORGATO, Maria Teresa
1977
Abstract
Si introducono le misure H(n−1,σ) (0<σ<1), ottenute mediante una costruzione di Caratheodory a partire dalla famiglia dei cilindri aperti per i quali il rapporto tra altezza e diametro di base non supera σ e se ne studiano le relazioni con la misura di Hausdorff (n−1)-dimensionale sulle frontiere di insiemi di perimetro finito. (We study a new measure, H(n−1,σ) (0<σ<1), obtained with a Caratheodory’s construction on the family of all open cylinders for which the ratio between height and base diameter is not greater than σ). E' noto che per le ipersuperfici regolari coincidono le misure (n-1)-dimensionali secondo Hausdorff, Gross, Caratheodory, ecc. Più in generale, queste misure coincidono sugli insiemi che sono decomponibili (a meno di insiemi di misura nulla) in un numero finito od una infinità numerabile di ipersuperfici regolari. In quest'ultima classe rientra la frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito. In questo lavoro mi occupo di una nuova misura, che viene indicata con H(n-1,σ), ottenuta mediante una costruzione di Caratheodory a partire dalla famiglia dei cilindri aperti per i quali il rapporto tra altezza e diametro di base non supera σ (σ< 1). Queste misure sembrano ragionevolmente adatte a misurare le ipersuperfici regolari od anche tutti gli insiemi che hanno in ogni punto versore normale generalizzato nel senso di De Giorgi (1955). Si dimostra infatti che se E è un insieme limitato di R" (n≥2) di perimetro finito, il perimetro di E coincide per ogni σ < 1 con la misura H(n-1,σ) della frontiera ridotta ∂*E di E. Ne segue che H(n-1,σ) coincide su ∂*E, e, in particolare, sulle ipersuperfici regolari, con le altre misure (n- 1)-dimensionali.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
